乐理

关于三种律制的讨论

内容：本文旨在深入探讨音乐史上较为重要的三种律制（五度相生律、纯律、十二平均律）的原理以及优缺点。通过阅读有关著作以及人工智能分析的帮助，在物理、数学等层面带领大家初步了解与对比三种律制。

关键词：五度相生律；纯律；十二平均律；原理；优缺点。

1.引言

  律制是规定音与音之间关系的系统，或者换句话说，它定义这个系统中所有音程的确切大小，不同的律制采用了不同的方法规定了音与音之间的音高差。律制的起源来自于自然界中物体振动所产生的泛音列：当一个音产生时，除了振幅最大（声音最响）的基频外，还会在其上方产生若干倍数频率的振动（倍频），在这些频率中人们得到了最纯正的（后文会展开讨论）“纯八度”、“纯五度”、“大三度”等协和音程，早期人们通过自然泛音列中的频率比例关系发明了五度相生律与纯律等乐律，随着音乐的不断发展，各种各样的律制被发明，包括完全通过计算得出的人工律制——十二平均律，但是无论哪一种律制都有各自的优点与无法改善的缺陷。对于本人来说，对律制研究的兴趣主要来源于自己对于管乐的爱好。早期一直对萨克斯音准问题感到迷惑，同时音准问题给予了作者与他人合奏很大的麻烦。在了解到铜管发声的原理是依赖其自然产生的泛音之后，我搜索了相关资料，将目光放在了“律制”这个概念上，试图通过研究“律制”解决我在管乐音准上的困惑，同时也能进一步了解所谓代表音高间隔的基本单位————“音程”，是如何被定义的。

2. 泛音

2.1 基音、泛音与泛音列

  自然界物体发声的原理来自于振动，当一个物体发出振动时，其产生的不止是一个频率的声音，也就是说我们平时听到的“声音”其实是多种频率的声音之和。在这些声音中，频率最低（音高最低）的音便是“基音”，剩下在基音上方的音统称为“泛音”，这些不同频率的音从低到高排列成一个音列，便是“泛音列”，其中基音上方的泛音按频率由低到高的顺序被命名为“第一泛音”、“第二泛音”、“第三泛音”等等。在理想或常见情况下，基音最强，泛音的能量往往随阶数升高而减弱，所以振幅也会越来越小，直至无法被察觉。并且基音和泛音的频率在数学上有倍数关系：假设基音的频率是f，第一泛音频率便是2f，第二泛音的频率便是3f，以此类推。

例1 Romantic_tp的A4音频波形图

  上图所示的例子显示的是来源于Roland公司于2001年产的“Edirol SD-90”的音源平台中的“Romantic_Tp”，一款颤音小号电子音源——也就是车万人熟悉的ZUN号，在Fl studio的Fruity Parametric EQ2中演奏A4所显示的音频波形图，可以发现其在多个频段处存在波形，其中位于最左边的波峰便是A4的“基音”，其右边若干波峰便是A4这个音高产生的“泛音列”，每一个波峰代表一个泛音，从左往右分别是“第一泛音”、“第二泛音”……

2.2 音色与泛音列的关系

例2 Flute的A4音频波形图

  上图所示的例子显示的是来源于同一款音源平台下的“Flute”，一款长笛电子音源在A4音高下的音频波形图，对比例1的图片可以发现：两款音源的“基音”与“泛音”频率是基本相同的，但是其振幅与形状却差别甚远。其实这个差别便是导致两者音色不同的本质原因：在一个声音的频谱结构中，基音决定了我们感知到的音高
，而泛音的存在及其分布，决定了声音的音色。即便两个声音具有相同的泛音序列，只要泛音的相对强度不同，音色就会发生明显变化。一般来说，低阶泛音占主导的音色温和、柔和；高阶泛音较多且强的音色明亮、尖锐。观察上方的波形图也能印证这一点：长笛的基音低阶泛音强且高阶泛音弱，音色清澈、纯净；颤音小号的基音与低阶泛音稍弱且高阶泛音强，音色浑浊、明亮。

  诶这时可能有细心的读者发现了一个问题：上文提到“两款音源的“基音”与“泛音”频率是基本相同的”，也就是说同一音高下不同音色的声音的基音和泛音的频率不一定完全相等？这会不会与前文说的“基音和泛音的频率在数学上有倍数关系”相悖？会不会有两种音色其基音与泛音差距甚远呢？其实前文所说的“基音和泛音的频率在数学上有倍数关系”，是基于理想的情况下的，然而在现实物理条件下，由于材料刚性、结构不规则及振动模式复杂等因素，泛音频率往往会偏离基音频率的整数倍，从而产生非谐性。这种偏离在一定范围内不会破坏音高感知，但会显著影响声音的音色特征。

3. 五度相生律（Pythagorean tuning）

3.1 五度相生律的原理

  在长期接触自然界的声音的泛音后，人们慢慢发现，频率比为2:1的两个音，其听感高度类似；频率比为3:2的两个音，其听感也十分和谐，于是，他们通过如下操作生成了一个音列：

  • step1：设基准音为C，其频率为f
  • step2：将f⋅32f \cdot \frac{3}{2}，得到了第二个音G，频率为32 f\frac{3}{2}\ f
  • step3，再将G的频率⋅32\cdot \frac{3}{2}，得到第三个音D，频率为(32)2⋅f=94⋅f\left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot f = \frac{9}{4} \cdot f。但人们发现此时D音已经离C音相距甚远了，于是他们将其频率⋅12\cdot \frac{1}{2}，得到了听感相同但是音高降低了的另一个D音（用后来的说法就是降八度的D），频率为(32)2⋅12⋅f=98⋅f\left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot f = \frac{9}{8} \cdot f。
  • step4：再将D音的频率⋅32\cdot \frac{3}{2}，得到了第四个音A，频率为98⋅32⋅f=2716⋅f\frac{9}{8}\cdot\frac{3}{2}\cdot f = \frac{27}{16}\cdot f

  同理，在进行了四次操作后，人们已经获得了“C、G、D、A、E”这五个音，按音高由低到高排序便是“C、D、E、G、A”，可能觉得这个音列眼熟？其实这就是五声音阶的雏形，无论是中国传统五声音阶（宫、商、角、徵、羽），苏格兰与爱尔兰民间音乐的凯尔特五声音阶，还是日本的都节音阶，他们的本质都是通过此方法得出的一个音阶，而这个通过“3:2”与“2:1”的频率比推算音程的方法，或者我们称这种乐律（即 律制），便是“五度相生律”。为什么世界上许多地区的民族音乐都不约而同使用了相同的五声音阶？就是因为先祖们都在长期对自然声音规律的摸索过程中发现了“3:2”这一“黄金比例”，推算出了前五个音作为音阶进行音乐创作。

  当然人们肯定不会只满足于使用只有五个音的音阶，事实上这个音列可以使用“五度相生律”一直推算下去：每往上推算两次3:2，就用1:2的比例将过高的音降低八度。以此类推，我们获得了G、D、A、E、B、#F、#C、#G、#D、#A、#E（F）这些音，这十一个音与起始的C音形成了一个近似的闭环。使用这个方法，我们能从一个任意频率的音出发，推算出来一个包含十二个音的近似闭环，这就是十二音体系的雏形。将十二个音写在一个正十二边形上，我们可以得到一个五度圈。

例3 理想的五度圈（五度相生律）

  其实频率比为2:1和3:2的这两组音程，就是后来我们熟知的“八度”与“五度”（“度”这个说法一说起源于七声音阶的确立，频率比为2:1的音在此音列中正好排第八个，于是称作两音的间隔为一个八度）。我们再回头看前文中已经列出的通过科学测量得出泛音列中泛音之间的频率比，是否发现：基音的频率是f，第一泛音频率是2f，第二泛音的频率是3f。基音和第一泛音频率比恰好是1:2，第一泛音与第二泛音频率比恰好是2:3。所以古人最早发现并用于创造“五度相生律”的这两个频率比，其实就是自然泛音列中最容易被发现的前三个音之间的频率比。所以“五度相生律”，其实就是人类早期对于声学探索的产物^ _ ^ 。

3.2 五度相生律下的音阶

  为了更直观地描述此文章中提到的所有律制下七个基本音级（CDEFGAB）之间音程的具体音高差距，我们引入现代音乐理论和声学中用来精确衡量音高差异的单位——音分（cent）。在这套单位体系下，一个八度是1200音分，若将一个八度平均分成12份，则每一份都是100音分（其实这就是十二平均律下一个小二度音程（半音）的具体大小，关于十二平均律的内容将在后文具体展开）。由于音分是一个对数单位，用来表示两个音高之间的比例差，而不是频率的绝对差，于是我们需要通过如下公式将频率比换算成具体的音分差：

c=1200log⁡2(f2f1)c = 1200 \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)。

  其中“c”代表的就是音分（cent）。有了此公式，根据五度相生律，我们可以得到下表：

项目 / 音级 C D E F G A B
与主音频率比 1 98\frac{9}{8} 8164\frac{81}{64} 43\frac{4}{3} 32\frac{3}{2} 2716\frac{27}{16} 243128\frac{243}{128}
与主音音分差 (cent) 0.00 203.91 407.82 498.04 701.96 905.87 1109.78
相邻音程音分差 (cent) — 203.91 203.91 90.22 203.91 203.91 203.91

3.3 五度相生律的缺陷

  其实可能又已经有细心的读者发现了，在“3.1五度相生律的原理”的第三段中，使用“两次3:2，一次1:2”的周期推算十二次得出的十二个音，构成的是“近似”的闭环。为什么是近似的闭环呢？其实我们只要通过两个算式就会发现问题了：

  • ①：设基准音为C，频率为f。从C开始向上推十二次纯五度，即乘十二次32\frac{3}{2}，理论上应该得到比这个基准音C高七个八度的C’，f′=f⋅(32)12=5314414096⋅f≈129.746ff' = f \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{12}= \frac{531441}{4096}\cdot f\approx 129.746f
  • ②：根据推一次八度即乘一次12\frac{1}{2}，理论上比C高七个八度的C’，其频率f′=f⋅27=128 ff' = f \cdot 2^{7} = 128\,f
  • ③：我们将两个f’与f的比值代入到前文的频率、音分的换算公式中，会发现两者差了c=1200log⁡2(32)12−1200log⁡228=1200log⁡2531441524288≈23.46c = 1200\log_2\left(\frac{3}{2}\right)^{12}-1200\log_2 2^{8}=1200\log_2\frac{531441}{524288}\approx 23.46

两种方法算出来的这个音差，便是“毕达哥拉斯音差”，所以咱五度相生律下的五度圈图形，并不是一个正十二边形！以C为基准推了十二次纯五度得到的♯B，其与C并不是等音！

例4 现实的五度圈（五度相生律）TAT

  如果强行想让这个“五度圈”首位闭合，这个音差被塞到这个五度圈中任意一个五度中，都会让该“纯五度”变成一个听感极不和谐的“狼五度”（the WOLF）。所以，一旦音乐在此乐律下进行远关系转调，不可避免会碰见“狼五度”，导致无法演奏。

例5 强行闭合的五度圈（五度相生律）>_<

3.4 五度相生律的优点

  天，毕达哥拉斯音差导致狼五度的存在，似乎毁了五度相生律啊！说完缺陷，那么五度相生律有没有优点呢？当然，五度相生律下的音阶是使用大自然的泛音列所包含的比例推导出来的，用该律制创造的单音旋律当然也符合同样作为大自然的一份子——身为人类的我们的听觉习惯的。由真正的纯五度推导出来的音列，其单音旋律十分优美。而且狼五度只有在远关系转调时才会出现，古代的作曲家经常会将这个音差塞进离其曲子选用的调性音阶最远的两个音当中。关系离得远，自然用得少，那么狼五度对曲子的影响也就少了^ _ ^。

3.5 关于五度相生律的补充

  虽然前文说人们发现了3:2、2:1这俩比例并发明了五度相生律，但历史上人们肯定不是直观地测量出两个声音的频率发现比值是3:2、2:1。有一说法公元前六世纪的古希腊，毕达哥拉斯发现一根弦缩短一半，其振动发出的声音会高八度；将弦长缩短到原来的23\frac{2}{3}，声音会高五度。在东方，公元前七世纪的春秋时代，管仲提出了三分损益法，描述了将一根管子“三分损一”，即将一根管子分成三份，去掉一份，会得到高五度的下一个音；将一根管子“三分益一”，即将一根管子分成三份，增加一份，就会得到低四度的下一个音。如果将“三分损益法”用算式来表示：“三分损一”就是将原长度乘以23\frac{2}{3}，即频率变为原来的32\frac{3}{2}（升高五度）；“三分益一”就是将原长度乘以43\frac{4}{3}，其实就是将原长度乘以23\frac{2}{3}又乘以2，即频率变为原来的32\frac{3}{2}（升高五度）再乘以12\frac{1}{2}（降低八度）。无论是将弦长还是管长，将他们按这两个比例增长缩短，本质都是在改变声音的频率。

4. 纯律（Just intonation）

4.1 纯律的原理

  继续往后看泛音列（设基音的频率为f），第三泛音是4f，仍然是一个基音上方的“八度音”。然而第四泛音的频率是5f，它与第三泛音的频率之间产生了5:4的比例，这个比例下，一个新的音程诞生了，便是现在我们熟知的“大三度”。这个比例，毕达哥拉斯与管仲都没发现，而在公元二世纪，罗马的托勒密发现了。他利用这个倍频生成了一个七声音阶。纯律，在五度相生律的基础上（2:1与3:2），加入了大三度“5:4”这个新原则，就这样诞生了。

4.2 纯律下的音阶

  仍然设基音为C，从基音C出发，我们分别用“3:2”、“5:4”可以分别获得G、E两个音。其实这三个音便组成了一个完全来源于自然泛音列的大三和弦，这个三个音组成的和弦构成了纯律的“中心”。随后，我们从E音向上纯五度（3:2）获得B音，向下纯四度（3:4）获得A音（向下纯四度其实就是向上纯五度然后向下一个纯八度: 32⋅12=34\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}），D与F的音高推导与五度相生律的相同。

项目 / 音级 C D E F G A B
与主音频率比 1 98\frac{9}{8} 54\frac{5}{4} 43\frac{4}{3} 32\frac{3}{2} 53\frac{5}{3} 158\frac{15}{8}
与主音音分差 (cent) 0.00 203.91 386.31 498.04 701.96 884.36 1088.27
相邻音程音分差 (cent) — 203.91 182.40 111.73 203.91 182.40 203.91

4.3 纯律的缺陷

  观察一下上表，我们会发现理论上同样大二度（全音）音程，在纯律体系下出现两种，一种是相差203.91音分的“大全音”，一种是相差182.40音分的“小全音”。大小全音的出现是由于纯律新加入的大三度“5:4”规则，基音C与E音之间的音差被定死，导致若D音频率仍然是C音的98\frac{9}{8}，D到E之间的音差必须被压缩。大小全音的出现，导致纯律的音高十分依赖调性中心，比如同样的“D-E”这个间隔，在C大调中是一个小全音，在D大调里变成了大全音，若保持D音频率不变，那么后面音阶内部音程关系全错了！这会直接导致听觉上产生走调感。大全音与小全音之间的音差，被称为“辛托尼克通音分”，约为21.51音分。（对“通音分”感兴趣的小伙伴可以观看此视频:https://youtu.be/XhY_7LT8eTw?si=rUaok2cr-ESazMxM）
  纯律与五度相生律一样，推算一轮之后的“主音”，并不重合在基音上方的八度中，所以它和五度相生律一样存在五度圈无法闭合的问题。虽然纯律C-G与五度相生律一样是约702音分，完美的纯五度，但是D-A却是约680音分，典型的“狼五度”。有人说，那是不是可以从A音向下推纯四度得到另一个与基音C的频率比是109\frac{10}{9}的另一个D，这样D-A就和谐了。很可惜，D-A是和谐了，G-D又变成狼五度了^ _ ^，这头摁下去了，那头又翘起来了。历史上人们针对纯律甚至提出想法改良出比D音有两个品的吉他、D音有两个键的钢琴，来解决狼五度的问题。但是如果碰到一个复杂的和声，比如现代乐中的C69和弦，组成音：CEGAD，那么这个问题还是没法解决。（事实上当时的乐律限制了和声上的发展，如果乐律存在的问题不解决，现代乐的和声估计也不会发展到现在这个地步，C69和弦也大概率不会存在并流行）

4.4 纯律的优点

  我们对比一下纯律与五度相生律的表格，不难发现E、A、B三个音，他们与基音C之间的频率比变得简洁得多。频率比越简洁，其和声听感越纯净，所以纯律的和声听感十分纯净。纯律在无伴奏合唱、人声重唱、弦乐和声中优势尤为明显，且最符合人耳的听觉习惯。同时纯律以主音为参照，各音级与主音之间的关系非常明确，和弦的功能性最强，适合单一调性、长时间停留在主调的音乐。

4.5 关于纯律的补充

  前文（4.3 纯律的缺陷）中提到：纯律与五度相生律一样，推算一轮之后的“主音”，并不重合在基音上方的八度中。历史上有人认为，推算一轮没有回到基音的倍频上，这个音不能当做主音，相当于产生了新的音，既然有新的音，那么这个音阶就没结束啊，于是他们开始一个劲儿地往后算音阶：西汉的律学家京房，在十二音的基础上往后算到了六十个音，称为“京房六十律”；南朝更有甚者学习京房将音阶卷到了360个音^ _ ^；,一个音阶，360个音，四台钢琴才容得下一个音阶……（真tm邪门.jpg）。但其实酱紫卷已经没有什么现实意义了，首先人耳几乎不可能在音阶被“切成臊子”的情况下分辨出音阶内每一个音，其次乐器也不可能设计出来，在这样的前提下音乐也不可能被生产出来。

5. 十二平均律（12-tone equal temperament）

5.1 十二平均律的原理

  随着音乐的不断发展，人们对于合奏、转调等要求越来越高。其实早期人们就有了这样一个构想，可以发明一种律制，可以将一个八度（1:2）的两个音之间的频率十二等分，这样就不会出现前面两种律制带来的在转调和音准层面的各种问题了。但是受人类数学发展水平限制，要将比例转换成数值并且十二等分，相当于要徒手开十二次方，没有现代工具实在太难算了。历史上有记载最早提出十二平均律的是明朝的朱载堉，用珠算的方法算出了非常精确的值。

5.2 十二平均律下的音阶

  十二平均律将一个八度内的频率十二等分，所以每一个音的频率是前面相距一个半音的音的频率的21122^{\frac{1}{12}}。

项目 / 音级 C D E F G A B
与主音频率比 1 22/122^{2/12} 24/122^{4/12} 25/122^{5/12} 27/122^{7/12} 29/122^{9/12} 211/122^{11/12}
与主音音分差 (cent) 00 200200 400400 500500 700700 900900 11001100
相邻音程音分差 (cent) — 200200 200200 100100 200200 200200 200200

5.3 十二平均律的缺陷

  十二平均律最大的缺陷还是在于，它为了保证五度圈的闭环和音程的统一性，将毕达哥拉斯音差平均到了十二个半音中，牺牲了和声上的和谐度。
它的所有音程都“不完全纯”。虽然误差不大，但拍频（两个接近频率的声音叠加后，因干涉产生的周期性音量起伏，导致听感略微晃动，拍频的频率等于两者频率之差）始终存在。

音程 纯律 平均律
纯五度 702.0 700
大三度 386.3 400

5.4 十二平均律的优点

  虽然十二平均律的所有音程都“不完全纯”，但是部分音程、以及关系较远的音程（比如复音程）听感可能比五度相生律或纯律更和谐（自然界大三度相差大概386音分（纯律），十二平均律是400音分，五度相生律约408，此时五度相生律下的大三度听感还不如十二平均律；同样D-A，自然界纯五度（五度相生律）下相差702音分，十二平均律700音分，而纯律却是680音分（狼五度））。此外，早期和声规则有如此多的条条框框，而现代的音乐限制越来越少，形式越来越多样，除了乐理的发展外，乐律的影响不可忽视。没有十二平均律，一旦和声的组成音变多，制约的情况也会迅速变多。十二平均律的出现，使得许多过去因为律制原因产生的和声上的限制被解除（如前文提到的C69和弦在十二平均律下就没有狼五度的存在），合奏问题、音准问题在十二平均律下一一被解决。十二平均律的出现，让音乐出现了许多新的创作可能。

例6 完美的五度圈（十二平均律）^ _ ^

6.总结

  律制的发展史相当宏大，远超本文所介绍到的范围。从对自然泛音列的探索到人工体系的尝试；从追求和声上的极致纯净到转调上的真正自由；从局部的最优到全局的统一；从听觉的经验到数学的结构……如引言所说：无论哪一种律制都有各自的优点与无法改善的缺陷，律制从来没有正确与错误之分，只有在具体音乐语境下的合适与不合适。

OMO